Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知长方形，点，.

（1）如图，有一动点在第二象限的角平分线上，若，求的度数；

（2）若把长方形向上平移，得到长方形.

①在运动过程中，求的面积与的面积之间的数量关系；

②若，求的面积与的面积之比.

Answer 1

【答案】（1）55°或35°；（2）①；②.

【解析】

（1）分两种情况：①在Rt△FEC中，求出∠FEC=90°-10°=80°，然后根据点在第二象限的角平分线上，得出∠POE=45°，对顶角相等，即可得出∠CPO=180°-80°-45°=55°；②由已知条件，得出∠CEO=45°，又根据∠CEO=∠CPE+∠PCB，得出∠CPO；

（2）①首先设长方形向上平移个单位长，得到长方形，然后列出和的面积，即可得出两者的数量关系；

②首先根据已知条件判定四边形是平行四边形，经过等量转化，即可得出和的面积，进而得出其面积之比.

（1）分两种情况:

①令PC交x轴于点E，延长CB至x轴，交于点F，如图所示：

由已知得，，∠CFE=90°

∴∠FEC=90°-10°=80°，

又∵点在第二象限的角平分线上，

∴∠POE=45°

又∵∠FEC=∠PEO=80°

∴∠CPO=180°-80°-45°=55°

②延长CB,交直线l于点E，

由已知得，，

∵点在第二象限的角平分线上，

∴∠CEO=45°

∴∠CEO=∠CPE+∠PCB

∴∠CPO=45°-10°=35°.

故答案为55°或35°.

（2）如图，

①设长方形向上平移个单位长，得到长方形

∴

②∵长方形，

∴

∵，

令交于E，

则四边形是平行四边形，

∴

∴

又∵

由①得知，

∴

∴.