Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为x=1，交x轴的一个交点为（x1 ， 0），且﹣1＜x1＜0，有下列5个结论：①abc＞0；②9a﹣3b+c＜0；③2c＜3b；④（a+c）2＜b2；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确的结论有（ ）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】D
【解析】①抛物线对称轴在y轴的右侧，则a、b异号，即b>0.

抛物线与y轴交于正半轴，则c>0.

∵a<0，

∴abc<0.

故①错误；②由图示知，当x=3时，y<0，即9a3b+c<0，故②正确；③由图示知，x=1时，y<0，即ab+c<0，

∵x= =1，

∴a= b，

∴ab+c= bb+c<0，即2c<3b，故③正确；④由图示知，x=1时，y>0，即a+b+c>0

∵ab+c<0，

∴(a+b+c)(ab+c)<0，则(a+c)2b2<0，

∴(a+c)2<b2；

故④正确；⑤∵当x=1时，y最大，即a+b+c最大，故a+b+c>am2+bm+c，即a+b>m(am+b)，(m为实数且m≠1)，故⑤正确。

综上所述，其中正确的结论有4个。

所以答案是：D.

【考点精析】通过灵活运用二次函数的性质和二次函数图象以及系数a、b、c的关系，掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小；二次函数y=ax2+bx+c中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上; a<0时，抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x=-b/2a;c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）即可以解答此题．