Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm，∠BAC=60°，动点M从点B出发，在BA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒 cm的速度向点B匀速运动，设运动时间为t秒（0≤t≤5），连接MN．

（1）若BM=BN，求t的值；
（2）若△MBN与△ABC相似，求t的值；
（3）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，∠BAC=60°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=10，BC=5 ．

由题意知：BM=2t，CN= t，

∴BN=5 - t，

∵BM=BN，

∴2t=5 - t

解得： ．

（2）

解：分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，

则 ，即 ，

解得：t= ．

②当△NBM∽△ABC时，

则 ，即 ，

解得：t= ．

综上所述：当t= 或t= 时，△MBN与△ABC相似．

（3）

解：过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，

∴△BMD∽△BAC，

∴ ，

即 ，

解得：MD=t．

设四边形ACNM的面积为y，

∴y= = = ．

∴根据二次函数的性质可知，当t= 时，y的值最小．

此时， ．

【解析】（1）由已知条件得出AB=10，BC=5 ． 由题意知：BM=2t，CN= t，BN=5 - t，由BM=BN得出方程2t=5 - t，解方程即可；（2）分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；②当△NBM∽△ABC时，由相似三角形的对应边成比例得出比例式，即可得出t的值；（3）过M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，证出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t．四边形ACNM的面积y=△ABC的面积﹣△BMN的面积，得出y是t的二次函数，由二次函数的性质即可得出结果．