Question

【题目】已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．

（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；
（2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）
②是否存在满足条件的点P，使得PC= ？请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图一中

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM，

∴∠PAM=∠PBC， ，

∴∠PBC+∠PBA=90°，

∴∠PAM+∠PBA=90°，

∴∠APB=90°，

∴AP⊥BN，

∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，

∴ ，

∴ ，

∵AB=BC，

∴AN=AM．

（2）

解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．理由如图二中，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，

∵△PBC∽△PAM，

∴∠PAM=∠PBC， ，

∴∠PBC+∠PBA=90°，

∴∠PAM+∠PBA=90°，

∴∠APB=90°，

∴AP⊥BN，

∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，

∴△BAP∽△BNA，

∴ ，

∴

∵AB=BC，

∴AN=AM．

②这样的点P不存在．

理由：假设PC= ，

如图三中，

以点C为圆心 为半径画圆，以AB为直径画圆，

CO= = ＞1+ ，

∴两个圆外离，∴∠APB＜90°，这与AP⊥PB矛盾，

∴假设不可能成立，

∴满足PC= 的点P不存在

【解析】（1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出 = = ，由△BAP∽△BNA，推出 = ，得到 = ，由此即可证明．（2）①结论仍然成立，证明方法类似（1）．②这样的点P不存在．利用反证法证明．假设PC= ，推出矛盾即可．本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题．