Question

【题目】如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上一点，∠ADE交直线a于点E，且∠ADE=60°．

（1）若D在BC上（如图1）求证CD+CE=CA；

（2）若D在CB延长线上，CD、CE、CA存在怎样数量关系，给出你的结论并证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CD、CE、CA满足CE+CA=CD，证明见解析.

【解析】

（1）实际上也就是求两条线段相等，在AC上取一点F，使CF=CD，然后求证△ADF≌△EDC即可;（2）归根究底仍是求两条线段的问题，通过求证全等，最终得出几条边之间的关系．

（1）证明：在AC上取点F，使CF=CD，连接DF．

∵∠ACB=60°，

∴△DCF为等边三角形．

∴∠3+∠4=∠4+∠5=60°．

∴∠3=∠5．

∵∠1+∠ADE=∠2+∠ACE，

∴∠1=∠2．

在△ADF和△EDC中，

，

∴△ADF≌△EDC（AAS）．

∴CE=AF．

∴CD+CE=CF+AF=CA．

（2）解：CD、CE、CA满足CE+CA=CD；

证明：

在CA延长线上取CF=CD，连接DF．

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACD=60°，

∵CF=CD，

∴△FCD为等边三角形．

∵∠1+∠2=60°，

∵∠ADE=∠2+∠3=60°，

∴∠1=∠3．

在△DFA和△DCE中

，

∴△DFA≌△DCE（ASA）．

∴AF=CE．

∴CE+CA=FA+CA=CF=CD．