Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是经过（1，0）且与y轴平行的直线，点P是抛物线上的一点，点Q是y轴上一点；

（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标；
（3）若tan∠PCB= ，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当y=0时，（m﹣1）x2﹣（3m﹣4）x﹣3=0，

解得x1= ，x2=3，即A（ ，0）B（3，0），

由A，B关于x=1对称，得

=﹣1，解得m=2，

即A（﹣1，0），

函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；

（2）

解：由四边形ABPQ是平行四边形，得

PQ∥AB，PQ=AB=4，

当PQ=4，即x=4时，y=5，即P（4，5）；

当x=﹣4时，y=21，即P（﹣4，21），

综上所述：四边形ABPQ是平行四边形P（4，5），（﹣4，21）；

（3）

解：如图

，

过P作PQ⊥x轴于Q，交CB延长线于R，过P作PH⊥BC于H，

设P（m，m2﹣2m﹣3），

∵抛物线y=x2﹣4x+3与坐标轴交于A，B，C三点，

∴x=0，则y=﹣3；

y=0，则0=x2﹣4x+3，

解得：x1=﹣1，x2=3，

故A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

设直线BC的解析式为：y=kx+b，

则 ，

解得： ，

故直线BC解析式：y=x﹣3，

∴R（m，m﹣3），PR=m2﹣2m﹣3﹣（m﹣3）=m2﹣3m，

∵OB=OC=3，

∴∠CBQ=135°，

∴∠HPR=45°，

∵CO=OB，

∴∠OCR=45°，

∴CR= OQ= m，

∴PH=RH=PR÷ = m（m﹣3），

又CR= OQ= m，

∴CH= m+ m（m﹣3）

= m（m+1）

由tan∠PCB= = = ，

解得：m=7，

则m2﹣2m﹣3=32，

故P（7，32）．

【解析】（1）根据自变量与函数值得对应关系，可得关于x的方程，根据解方程，可得A，B点坐标，根据函数值相等的点关于对称轴对称，可得m的值；（2）根据平行四边形的对边平行且相等，可得PQ的长，根据解方程，可得P点的横坐标，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；（3）根据题意首先得出直线BC的解析式，进而利用PR的长结合tan∠PCB=2得出P点横坐标，进而求出答案．
【考点精析】通过灵活运用二次函数的图象和二次函数的性质，掌握二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小即可以解答此题．