Question

【题目】如图，P是⊙O外的一点，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PO交AB于点F，延长BO交⊙O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC．

（1）求证：AC∥PO；

（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若⊙O的半径为3，CQ=2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）根据切线长定理得出PA=PB，且PO平分∠BPA，利用等腰三角形三线合一的性质得出PO⊥AB．根据圆周角定理得出AC⊥AB，进而得到AC∥PO；

（2）连结OA、DF．先用勾股定理计算出AQ=4，再计算出PA=PB=6，利用切线长定理可得到F点为AB的中点，易得DF为△BAP的中位线，则DF=PA=3，DF∥PA，利用DF∥AQ得到△DFE∽△QEA，所以，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，于是BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，最后计算．

（1）证明：∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，

∴PA=PB，且PO平分∠BPA，

∴PO⊥AB．

∵BC是直径，

∴∠CAB=90°，

∴AC⊥AB，

∴AC∥PO；

（2）连结OA、DF，如图，

∵PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，

∴∠OAQ=∠PBQ=90°．

在Rt△OAQ中，OA=OC=3，

∴OQ=5．

由QA2+OA2=OQ2，得QA=4．

在Rt△PBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，

∴PA=PB=6．

∵OP⊥AB，

∴BF=AF=AB．

又∵D为PB的中点，

∴DF∥AP，DF=PA=3，

∴△DFE∽△QEA，

∴

设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，

∴BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t，

∴．