Question

【题目】已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、E分别在BC、AC边上，连结BE、AD交于点P，设AC=kBD，CD=kAE，k为常数，试探究∠APE的度数：

（1）如图1，若k=1，则∠APE的度数为 ；

（2）如图2，若k=，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE的度数．

（3）如图3，若k=，且D、E分别在CB、CA的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.

【解析】（1）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE≌△ACD，得出EF=AD=BF，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（2）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△FAE∽△ACD，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（3）先判断出四边形ADBF是平行四边形，得出BD=AF，BF=AD，进而判断出△ACD∽△HEA，再判断出∠EFB=90°，即可得出结论；

（1）如图1，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，

∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴AF=AC．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE≌△ACD，

∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD．

∵AD∥BF，

∴∠EFB=90°．

∵EF=BF，

∴∠FBE=45°，

∴∠APE=45°．

（2）（1）中结论不成立，理由如下：

如图2，过点A作AF∥CB，过点B作BF∥AD相交于F，连接EF，

∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形ADBF是平行四边形，

∴BD=AF，BF=AD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴．

∵BD=AF，

∴．

∵∠FAC=∠C=90°，

∴△FAE∽△ACD，

∴，∠FEA=∠ADC．

∵∠ADC+∠CAD=90°，

∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD．

∵AD∥BF，

∴∠EFB=90°．

在Rt△EFB中，tan∠FBE=，

∴∠FBE=30°，

∴∠APE=30°，

（3）（2）中结论成立，如图3，作EH∥CD，DH∥BE，EH，DH相交于H，连接AH，

∴∠APE=∠ADH，∠HEC=∠C=90°，四边形EBDH是平行四边形，

∴BE=DH，EH=BD．

∵AC=BD，CD=AE，

∴．

∵∠HEA=∠C=90°，

∴△ACD∽△HEA，

∴，∠ADC=∠HAE．

∵∠CAD+∠ADC=90°，

∴∠HAE+∠CAD=90°，

∴∠HAD=90°．

在Rt△DAH中，tan∠ADH=，

∴∠ADH=30°，

∴∠APE=30°．