Question

【题目】如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动．点P、Q分别从点A和点C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．
（1）经过多长时间，四边形PQCD是平行四边形？
（2）经过多长时间，四边形PQBA是矩形？
（3）经过多长时间，当PQ不平行于CD时，有PQ=CD．

Answer 1

【答案】
（1）解：设经过x（s），四边形PQCD为平行四边形

即PD=CQ

所以24﹣x=3x，

解得：x=6

（2）解：设经过y（s），四边形PQBA为矩形，

即AP=BQ，

所以y=26﹣3y，

解得：y=

（3）解：设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形．

过Q点作QE⊥AD，过D点作DF⊥BC，

∴∠QEP=∠DFC=90°

∵四边形PQCD是等腰梯形，

∴PQ=DC．

又∵AD∥BC，∠B=90°，

∴AB=QE=DF．

在Rt△EQP和Rt△FDC中，

，

∴Rt△EQP≌Rt△FDC（HL）．

∴FC=EP=BC﹣AD=26﹣24=2．

又∵AE=BQ=26﹣3t，

∴EP=AP﹣AE=t﹣（26﹣3t）=2．

得：t=7．

∴经过7s，PQ=CD

【解析】（1）设经过ts时，四边形PQCD是平行四边形，根据DP=CQ，代入后求出即可；（2）设经过ts时，四边形PQBA是矩形，根据AP=BQ，代入后求出即可；（3）设经过t（s），四边形PQCD是等腰梯形，利用EP=2列出有关t的方程求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的判定的相关知识，掌握两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形，以及对矩形的判定方法的理解，了解有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；两条对角线相等的平行四边形是矩形．