Question

【题目】已知，如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（10，0），C（0，4），点D是OA的中点，点P在边BC上以每秒1个单位长的速度由点C向点B运动．

（1）当t为何值时，CP=OD？

（2）当△OPD为等腰三角形时，写出点P的坐标（请直接写出答案，不必写过程）．

（3）在线段PB上是否存在一点Q，使得四边形ODQP为菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）5；（2）（2，4），（2.5， 4），（3，4），（8， 4）；（3）（8，4）.

【解析】试题分析：

（1）由已知条件易得：OD=5，由CP=t=OD=5即可求得t的值；

（2）结合图形分：OP=DP、OP=OD和PD=OD三种情况分别讨论解答即可；

（3）由四边形ODQP是菱形可知：OP=OD=5，从而可求出点P此时的坐标，再由PQ=OD=5即可求得点Q的坐标.

试题解析：

（1）∵点A的坐标为（10，0），

∴OA=10，

∵点D是OA的中点,

∴OD=5，

又∵CP=t=OD=5，

∴t=5；

（2）点C的坐标为（0，4），CB∥轴，点P在CB上运动，

∴点P的纵坐标为4.

△OPD为等腰三角形，存在以下三种情况：

I、当OP=DP时，点P在线段OD的垂直平分线上，

∴此时CP=t=OD=2.5，

∴此时点P的坐标为（2.5，4）；

II、当OP=OD=5时，

在Rt△OPC中，由勾股定理可得：CP=，

∴此时点P的坐标为（3，4）；

III、当PD=OD=5时，如图3，存在以下两种情况：

过点D作DE⊥BC于点E，则DE=OC=4，CE=OD=5，

在Rt△P1DE中，∵P1D=OD=5，

∴P1E=，

∴CP1=CE-P1E=2，即此时点P1的坐标为（2，4）；

同理可得：点P2的坐标为（8，4）；

综上所述，当△OPD为等腰三角形时，点P的坐标为（2，4）、（2.5，4）、（3，4）和（8，4）；

（3）如图4，∵四边形ODQP是菱形，

∴OP=OD=PQ=5，

由（2）可知，当OP=5时，CP=3，

∴CQ=CP+PQ=8，

又∵点P在线段CB上，

∴点Q的坐标为（8，4）.