Question

【题目】如图1，在△ABC中，AB=BC=5，AC=6，△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE、BE，且AC和BE相交于点O.

(1)求证：四边形ABCE是菱形；

(2)如图2,P是线段BC上一动点(不与B. C重合)，连接PO并延长交线段AE于点Q，过Q作QR⊥BD交BD于R.

①四边形PQED的面积是否为定值?若是，请求出其值；若不是，请说明理由；

②以点P、Q、R为顶点的三角形与以点B. C. O为顶点的三角形是否可能相似?若可能，请求出线段BP的长；若不可能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①24，②；

【解析】

（1）利用平移的性质以及菱形的判定得出即可；

（2）①首先过E作EF⊥BD交BD于F，则∠EFB=90°，证出△QOE≌△POB，利用QE=BP，得出四边形PQED的面积为定值；

②当∠QPR=∠BCO时，△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3，过O作OG⊥BC交BC于G，得出△OGC∽△BOC，利用相似三角形的性质得出CG的长，进而得出BP的长．

(1)证明：∵△ABC沿BC方向平移得到△ECD，

∴EC=AB，AE=BC，

∵AB=BC，

∴EC=AB=BC=AE，

∴四边形ABCE是菱形；

(2)①四边形PQED的面积是定值，理由如下：

过E作EF⊥BD交BD于F,则∠EFB=90°，

∵四边形ABCE是菱形，

∴AE∥BC，OB=OE，OA=OC，OC⊥OB，

∵AC=6，

∴OC=3，

∵BC=5，

∴OB=4,sin∠OBC= ，

∴BE=8，

∴EF=BEsin∠OBC=8×，

∵AE∥BC，

∴∠AEO=∠CBO，四边形PQED是梯形，

在△QOE和△POB中

，

∴△QOE≌△POB，

∴QE=BP，

∴S = (QE+PD)×EF= (BP+DP)×EF=×BD×EF=×2BC×EF=BC×EF=5× =24；

②△PQR与△CBO可能相似，

∵∠PRQ=∠COB=90°，∠QPR>∠CBO，

∴当∠QPR=∠BCO时,△PQR∽△CBO，此时有OP=OC=3.

过O作OG⊥BC交BC于G.

∵∠OCB=∠OCB，∠OGC=∠BOC，

∴△OGC∽△BOC，

∴CG:CO=CO:BC，

即CG:3=3:5，

∴CG= ，

∴BP=BCPC=BC2CG=52×= .