Question

【题目】（3分）如图，在矩形ABCD中，BC=AB，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O．给出下列命题：

①∠AEB=∠AEH；②DH=EH；③HO=AE；④BC﹣BF=EH．

其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

【答案】①③．

【解析】

试题在矩形ABCD中，AD=BC=AB=CD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45°，∵AD⊥DE，∴△ADH是等腰直角三角形，∴AD=AB，∴AH=AB=CD，∵△DEC是等腰直角三角形，∴DE=CD，∴AD=DE，∴∠AED=67.5°，∴∠AEB=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠AEB，故①正确；

设DH=1，则AH=DH=1，AD=DE=，∴HE=，∴HE=，故②错误；

∵∠AEH=67.5°，∴∠EAH=22.5°，∵DH=CH，∠EDC=45°，∴∠DHC=67.5°，∴∠OHA=22.5°，∴∠OAH=∠OHA，∴OA=OH，∴∠AEH=∠OHE=67.5°，∴OH=OE，∴OH=AE，故③正确；

∵AH=DH，CD=CE，在△AFH与△CHE中，∵∠AHF=∠HCE=22.5°，∠FAH=∠HEC=45°，AH=CE，∴△AFH≌△CHE，∴AF=EH，在△ABE与△AHE中，∵AB=AH，∠BEA=∠HEA，AE=AE，∴△ABE≌△AHE，∴BE=EH，∴BC﹣BF=（BE+CE）﹣（AB=AF）=（CD+EH）﹣（CD﹣EH）=2EH，故④错误，故答案为：①③．