Question

【题目】如图，在中，，点O是BC上一点，以点O圆心，OC为半径的圆交BC于点D，恰好与AB相切于点E．

求证：AO是的平分线；

若，，求及AC的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；（2）12cm.

【解析】

（1）由∠ACB=90°，且OC为圆O的半径，判断得到AC与圆O相切，又AB与圆O相切，根据切线长定理得到AO为∠BAC的平分线，且AE=AC；

（2）由BE为圆O的切线，BC为圆O的割线，利用切割线定理列出关系式，将BD及BE的长代入，求出BC的长，用BC-BD求出直径CD的长，进而确定出圆O的半径，由OD+BD求出OB的长，连接OE，由切线的性质得到OE垂直于BE，在直角三角形OEB中，利用锐角三角函数定义求出sinB的值，同时由OB及OE的长，利用勾股定理求出BE的长，由∠ACB=90°，OC为圆O的半径，可得出AC为圆O的切线，由AE与AC都为圆的切线，根据切线长定理得到AE=AC，设AC=AE=xcm，由AE+EB表示出AB，再由BC及AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AC的长．

，OC为圆O的半径，

为圆O的切线，又AB与圆O相切，E为切点，

，AO平分；

为圆O的切线，BC为圆O的割线，

，又，，

，即，

，

连接OE，由BE为圆O的切线，得到，

在直角三角形BEO中，，，

，，

在直角三角形ABC中，设，则，

，

根据勾股定理得：，即，

解得：，

则．