Question

【题目】在等边△ABC中，以BC为直径的⊙O与AB交于点D，DE⊥AC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）计算 ．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°，

又∵OD=OB，

∴△OBD为等边三角形，

∴∠BOD=60°=∠ACB，

∴OD∥AC，

又∵DE⊥AC，

∴∠ODE=∠AED=90°，

∴DE为⊙O的切线

（2）解：连接CD，

∵BC为⊙O的直径，

∴∠BDC=90°，

又∵△ABC为等边三角形，

∴AD=BD= AB，

在Rt△AED中，∠A=60°，

∴∠ADE=30°，

∴AE= AD= AC，CE=AC﹣AE= AC，

∴ =3．

【解析】（1）连接OD，根据等边三角形性质得出∠B=∠A=60°，求出等边三角形BDO，求出∠BDO，∠A，推出OD∥AC，推出OD⊥DE，根据切线的判定推出即可；（2）求出AD= AC，求出AE= AC，CE= AC，即可求出答案．
【考点精析】本题主要考查了平行线的判定和等边三角形的性质的相关知识点，需要掌握同位角相等，两直线平行;内错角相等，两直线平行;同旁内角互补，两直线平行；等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°才能正确解答此题．