Question

【题目】解答题。
（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．
证明：DE=BD+CE．

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE

（2）证明：成立．

∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α，

∴∠CAE=∠ABD，

∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA（AAS），

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE

（3）证明：△DEF是等边三角形．

由（2）知，△ADB≌△CEA，

BD=AE，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，

∴∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，

∴∠DBF=∠FAE，

∵BF=AF

在△DBF和△EAF中

，

∴△DBF≌△EAF（SAS），

∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，

∴△DEF为等边三角形

【解析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE；（2）与（1）的证明方法一样；（3）由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
【考点精析】掌握等边三角形的判定是解答本题的根本，需要知道三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．