Question

【题目】如图，抛物线的对称轴是直线x=2，顶点A的纵坐标为1，点B（4，0）在此抛物线上．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若此抛物线对称轴与x轴交点为C，点D（x，y）为抛物线上一动点，过点D作直线y=2的垂线，垂足为E．
①用含y的代数式表示CD2 ， 并猜想CD2与DE2之间的数量关系，请给出证明；
②在此抛物线上是否存在点D，使∠EDC=120°？如果存在，请直接写出D点坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x﹣2）2+1，代入B（4，0），得：

a（4﹣2）2+1=0，解得：a=﹣

∴抛物线的解析式：y=﹣ （x﹣2）2+1

（2）

解：

①猜想：CD2=DE2；

证明：由D（x，y）、C（2，0）、E（x，2）知：

CD2=（x﹣2）2+y2，DE2=（y﹣2）2；

由（1）知：（x﹣2）2=﹣4（y﹣1）=﹣4y+4，代入CD2中，得：

CD2=y2﹣4y+4=（y﹣2）2=DE2．

②由于∠EDC=120°＞90°，所以点D必在x轴上方，且抛物线对称轴左右两侧各有一个，以左侧为例：

延长ED交x轴于F，则EF⊥x轴；

在Rt△CDF中，∠FDC=180°﹣120°=60°，∠DCF=30°，则：

CD=2DF、CF= DF；

设DF=m，则：CF= m、CD=DE=2m；

∵EF=ED+DF=2m+m=2，

∴m= ，DF=m= ，CF= m= ，OF=OC﹣CF=2﹣ ，

∴D（2﹣ ， ）；

同理，抛物线对称轴右侧有：D（2+ ， ）；

综上，存在符合条件的D点，且坐标为（2﹣ ， ）或（2+ ， ）．

【解析】（1）已知抛物线的顶点坐标，可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入B点的坐标求解即可．（2）①由坐标系两点间的距离公式不难得到CD2和DE2的表达式，再将（1）的抛物线解析式代入CD2的表达式中，用y替换掉x后，比较两者的大小关系即可；②∠EDC是钝角，那么点D一定在x轴的上方，且抛物线对称轴的左右两侧各一个（它们关于抛物线对称轴对称），延长ED交x轴于F，在Rt△CDF中，∠DCF=30°，那么DC=2DF、CF= DF，设出DF的长后，可以表示出CD、DE的长，由EF=ED+DF=2即可得出DF的长，从而求出点D的坐标．