Question

【题目】如图：已知：，，垂足分别为、，点是上使的值最小的点．若，，，则________．

Answer 1

【答案】

【解析】

以MN为对称轴作A点对称点A′，连接A′B交MN于C，则A′B就是AC+BC最小值，延长BN使ND=A′M，连接A′D；

根据矩形的判定得到四边形A′DNM是矩形，由矩形的性质得ND，A′D的长，在Rt△A′BD中运用勾股定理求得A′B的长，即可求得AC+BC的最小值．

解：

作A点关于直线MN的对称点A′，连接A′B交MN于C，

则AC+BC=A′C+BC=A′B，

A′B就是AC+BC的最小值；

延长BN使ND=A′M，连接A′D，

∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴AA′∥BD.

∵ND=A′M，

∴四边形A′DNM是平行四边形，

∵AM⊥MN，

∴∠AMC=90°，

∴∠A′MC=90°，

∴四边形A′DNM是矩形，

∴ND=AM=3，A′D=MN=15，

∴BD=BN+ND=5+3=8，

∴A′B= ，

∴AC+BC=17．

故答案为：17.