Question

【题目】如图，点P在x轴上，且，，点M也在x轴上，在OA上找点N，以P、M、N为顶点作正方形，则ON= （如结果中有根号，请保留根号）．

Answer 1

【答案】2或3﹣或3+ (任填两个值可得满分)

【解析】

试题分析：根据题意，因为PN是边还是对角线没有明确，所以分①PN是正方形的边长，②PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°与∠OPN=135°两种情况进行讨论，设ON=2x，

①如图1，当PN是正方形的边长时，

∵∠AOP=30°，

∴OP=2xcos30°=2x×=

又∵OP=

∴x=1，

∴ON=2x=2；

②如图2，PN是正方形的对角线，且∠OPN=45°时

∵∠AOP=30°，

∴OM=2xcos30°=2x×=

MP=MN=ONsin30°=2x×=x，

又∵OP=

∴x+x=

解得x=

∴ON=2x=3-

③如图3，PN是正方形的对角线，且∠OPN=135°时，

∵∠AOP=30°，

∴OM=2xcos30°=2x×=x

MP=MN=ONsin30°=2x×=x，

又∵OP=

∴x-x=

解得x=

∴ON=2x=3+

综上所述，ON的值为：2或3-或3+