Question

【题目】如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论： ①a﹣b+c＞0；
②3a+b=0；
③b2=4a（c﹣n）；
④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．
其中正确结论的个数是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间．
∴当x=﹣1时，y＞0，
即a﹣b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，即b=﹣2a，
∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴ =n，
∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选C．
利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，则当x=﹣1时，y＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称轴为直线x=﹣ =1，即b=﹣2a，则可对②进行判断；利用抛物线的顶点的纵坐标为n得到 =n，则可对③进行判断；由于抛物线与直线y=n有一个公共点，则抛物线与直线y=n﹣1有2个公共点，于是可对④进行判断．