Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点E是AD边上的一点，AF⊥BE于F，CG⊥BE于G．

（1）若∠FAE=20°，求∠DCG的度数；

（2）猜想：AF，FG，CG三者之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）70°；（2）CG=AF+FG，理由见解析

【解析】（1）由正方形的性质求得∠ABC=∠D=90°，根据三角形的外角定理求得∠FED，再根据四边形内角和求得结论；

（2）由∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，证得∠ABF=∠BCG，再证得在ABF≌△BCG，AF=BG，由全等三角形的性质证得BF=CG，根据线段的和差和等量代换即可求得结论．

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴ ∠ABC=∠D=90°，

∵AF⊥BE，CG⊥BE，

∴∠AFE=∠CGE=90°，

∵∠FAE=20°，

∴∠FED=∠FAE+∠AFE=20°+90°=110°，

∴∠DCG=360°-∠D-∠FED-∠CGE=360°-90°-110°-90°=70°；

（2）猜想：CG=AF+FG，

证明：∵∠ABF+∠CBG=90°，∠CBG+∠BCG=90°，

∴∠ABF=∠BCG，

在△ABF和△BCG中

∴ABF≌△BCG（AAS），

∴AF=BG，BF=CG，

∴CG=BF=BG+FG=AF+FG．