Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别是，现同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的对应点.连接.

(1)写出点的坐标并求出四边形的面积.

(2)在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的2倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)若点是直线上一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出与的数量关系.

Answer 1

【答案】(1)点 ，点 ；12；(2)存在，点的坐标为和；(3) ∠OFC=∠FOB-∠FCD，见解析.

【解析】

（1）根据点平移的规律易得点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；

（2）设点E的坐标为（x，0），根据△DEC的面积是△DEB面积的2倍和三角形面积公式得到，解得x=1或x=7，然后写出点E的坐标；

（3）分类讨论：当点F在线段BD上，作FM∥AB，根据平行线的性质由MF∥AB得∠2=∠FOB，由CD∥AB得到CD∥MF，则∠1=∠FCD，所以∠OFC=∠FOB+∠FCD；同样得到当点F在线段DB的延长线上，∠OFC=∠FCD-∠FOB；当点F在线段BD的延长线上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．

解：（1）∵点A，B的坐标分别是（-2，0），（4，0），现同时将点A、B分别向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到A，B的对应点C，D，

∴点C的坐标为（0，2），点D的坐标为（6，2）；

四边形ABDC的面积=2×（4+2）=12；

（2）存在．

设点E的坐标为（x，0），

∵△DEC的面积是△DEB面积的2倍，

，解得x=1或x=7，

∴点E的坐标为（1，0）和（7，0）；

（3）当点F在线段BD上，作FM∥AB，如图1，

∵MF∥AB，

∴∠2=∠FOB，

∵CD∥AB，

∴CD∥MF，

∴∠1=∠FCD，

∴∠OFC=∠1+∠2=∠FOB+∠FCD；

当点F在线段DB的延长线上，作FN∥AB，如图2，

∵FN∥AB，

∴∠NFO=∠FOB，

∵CD∥AB，

∴CD∥FN，

∴∠NFC=∠FCD，

∴∠OFC=∠NFC-∠NFO=∠FCD-∠FOB；

同样得到当点F在线段BD的延长线上，得到∠OFC=∠FOB-∠FCD．