Question

【题目】如图，矩形ABCD的边AD是菱形AEDF的一条对角线，且点E在矩形ABCD的边BC上．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）直接写出当矩形边长AD与AB之间满足什么关系时，菱形AEDF为正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°，AD=BC，
∵四边形AEDF是菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL）；
（2）解：当AD=2AB时，菱形AEDF为正方形；理由如下：
∵Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，
∵AD=2AB，AD=BC，
∴AB=BE，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，
∴∠DEC=45°，
∴∠AED=180°﹣45°﹣45°=90°，
∴菱形AEDF为正方形．
【解析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，∠B=∠C=90°，由菱形的性质得出AE=DE，由HL证明Rt△ABE≌Rt△DCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出BE=CE，∠AEB=∠DEC，由AD=2AB，证出△ABE是等腰直角三角形，得出∠AEB=45°，证出∠AED=90°，即可得出菱形AEDF为正方形．
【考点精析】认真审题，首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)．