Question

【题目】两张宽度均为4的矩形纸片按如图所示方式放置：

（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；

（2）如图2，点P在BC上，PFAD于点F，若=16, PC=1.

①求∠BAD的度数；②求DF的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）45°；DF=3.

【解析】

（1）过点D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，构造全等三角形，得出AD=CD，再根据AB∥CD，AD∥BC，得到四边形ABCD是平行四边形，进而得出四边形ABCD是菱形；

（2）①先根据菱形的面积求得菱形的边长，再根据sin∠DAE的值，求得∠BAD的度数；②根据CP=1，以及∠PCG=∠BAD=45°，求得PG=1，再根据∠CDF=45°=∠DGF，即可得到DF=FG=1．

（1）如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DQ⊥BC于Q，则∠AED=∠CQD=90°，

∵矩形纸片宽度均为4，

∴DE=DQ，

又∵∠CDE=∠ADQ=90°，

∴∠ADE=∠CDQ，

在△ADE和△CDQ中，

，

∴△ADE≌△CDQ（ASA），

∴AD=CD，

又∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是菱形；

（2）①如图1，∵S四边形ABCD=16，

∴AB×DE=16，即AB×4=16，

∴AB=4=AD，

∴sin∠DAE=，

∴∠BAD=45°；

②如图2，

∵PF⊥AD，AD∥BC，

∴PF⊥BC，

又∵∠PCG=∠BAD=45°，

∵PC=1

∴PG=1，

∵PF=4

∴FG=PF-PG=4-1=3，

又∵∠CDF=45°=∠DGF，

∴DF=FG=3．