Question

【题目】如图，在ABCD中，M、N分别是AD，BC的中点，∠AND=90°，连接CM交DN于点O．

（1）求证：△ABN≌△CDM；

（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，若PE=1，∠1=∠2，求AN的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2．

【解析】

试题分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分别是AD，BC的中点，即可利用SAS证得△ABN≌△CDM；

（2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性质求解即可求得答案．

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，

∵M、N分别是AD，BC的中点，

∴BN=DM，

∵在△ABN和△CDM中，

，

∴△ABN≌△CDM（SAS）；

（2）解：∵M是AD的中点，∠AND=90°，

∴MN=MD=AD，

∴∠1=∠MND，

∵AD∥BC，

∴∠1=∠CND，

∵∠1=∠2，

∴∠MND=∠CND=∠2，

∴PN=PC，

∵CE⊥MN，

∴∠CEN=90°，

∠END+∠CNP+∠2=180°﹣∠CEN=90°

又∵∠END=∠CNP=∠2

∴∠2=∠PNE=30°，

∵PE=1，

∴PN=2PE=2，

∴CE=PC+PE=3，

∴CN==2，

∵∠MNC=60°，CN=MN=MD，

∴△CNM是等边三角形，

∵△ABN≌△CDM，

∴AN=CM=2．