Question

【题目】已知顶点为A(2，一1)的抛物线与y轴交于点B，与x轴交于C、D两点，点C坐标(1，O)；

(1)求这条抛物线的表达式；

(2)连接AB、BD、DA，求cos∠ABD的大小；

(3)点P在x轴正半轴上位于点D的右侧，如果∠APB=45°，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）；（3）P（3+，0）

【解析】试题分析：（1）由题意得，设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，再将C点坐标代入可求a的值；（2）先求证∠BDA=90°，即△ABD是直角三角形，求AB、BD的值，再根据计算即可；（3）先证明△PDB∽△ADP得出PD2=BDAD，求得PD的值，再根据OP＝OD+PD，即可求得点P的坐标；

试题解析：

解：（1）∵顶点为A（2，﹣1）的抛物线经过点C（1，0），

∴可以假设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，

把（1，0）代入可得a=1，

∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3．

（2）令y=0，x2﹣4x+3=0，解得x=1或3，

∴C（1，0），D（3，0），令x=0，y=3,

∴B（0,3）

∵OB=OD=3，

∴∠BDO=45°，

∵A（2，﹣1），D（3，0），

∴∠ADO=45°，

∴∠BDA=90°，

∵AB＝ ，BD＝

∴

（3）∵∠BDO=∠DPB+∠DBP=45°，∠APB=∠DPB+∠DPA=45°，

∴∠DBP=∠APD，

∵∠PDB=∠ADP=135°，

∴△PDB∽△ADP，

∴PD2=BDAD=3=6，

∴PD=，

∴OP=3+，

∴点P（3+，0）．