Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AD=2BC，E为AD的中点，

∴DE=BC，

∵AD∥BC，

∴四边形BCDE是平行四边形，

∵∠ABD=90°，AE=DE，

∴BE=DE，

∴四边形BCDE是菱形

（2）解：连接AC．

∵AD∥BC，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA，

∴AB=BC=1，

∵AD=2BC=2，

∴sin∠ADB= ，

∴∠ADB=30°，

∴∠DAC=30°，∠ADC=60°，

在Rt△ACD中，∵AD=2，

∴CD=1，AC= ．

【解析】（1）由DE=BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE=DE即可解决问题；（2）在Rt△只要证明∠ADC=60°，AD=2即可解决问题；
【考点精析】通过灵活运用直角三角形斜边上的中线，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可以解答此题．