Question

【题目】在ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．

（1）如图①，求证：BP+BQ=BC；

（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要证明；

（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC=______．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析;（2）图②：BQ﹣BP=BC， 图③：BP﹣BQ=BC;（3）BC=2或4．

【解析】分析：（1）根据平行四边形的性质证明△ADP≌△CBQ，得BQ=PD，由AD=BD=BC得：BC=BD=BP+PD=BP+BQ；（2）图②，证明△ABP≌△CDQ，得PB=DQ，根据线段的和得结论；图③，证明△ADP≌△CBQ，得PD=BQ，同理得出结论；（3）分别代入图①和图②条件下的BC，计算即可．

本题解析：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，∴∠ADB=∠CBD，

∵AP∥CQ，∴∠APQ=∠CQB，∴△ADP≌△CBQ， ∴DP=BQ，

∵AD=BD，AD=BC，∴BD=BC，∵BD=BP+DP，∴BC=BP+BQ；

（2）图②：BQ﹣BP=BC，理由是：

∵AP∥CQ，∴∠APB=∠CQD，

∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，

∴∠ABP=∠CDQ，∵AB=CD，

∴△ABP≌△CDQ，∴BP=DQ，

∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；

图③：BP﹣BQ=BC，理由是：

同理得：△ADP≌△CBQ，

∴PD=BQ，

∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；

（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4，

图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=3﹣1=2，

∴BC=2或4．