Question

【题目】在图1至图3中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1=∠2=45°．

（1）如图1，若AO=OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系；

（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转得到图2，其中AO=OB．求证：AC=BD，AC⊥BD；

（3）将图2中的OB拉长为AO的k倍得到图3，求的值．

Answer 1

【答案】（1）AO=BD，AO⊥BD；（2）答案见解析；（3）k．

【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的判定和性质得出；

（2）过点B作BE∥CA交DO于E，通过证明△AOC≌△BOE，得出AC=BE，∠ACO=∠BEO，从而∠DEB=∠2，则BE=BD，等量代换得出AC=BD．延长AC交DB的延长线于F，根据平行线的性质及已知得出AC⊥BD；

（3）过点B作BE∥CA交DO于E，通过证明△BOE∽△AOC，根据相似三角形的性质得出的值．

试题解析：（1）解：AO=BD，AO⊥BD；

（2）证明：如图2，过点B作BE∥CA交DO于E，则∠ACO=∠BEO．

又∵AO=OB，∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE，∴AC=BE．

又∵∠1=45°，∴∠ACO=∠BEO=135°，∴∠DEB=45°．

∵∠2=45°，∴BE=BD，∠EBD=90°，∴AC=BD．

延长AC交DB的延长线于F，如图．

∵BE∥AC，∴∠AFD=90°，∴AC⊥BD．

（3）解：如图3，过点B作BE∥CA交DO于E，则∠BEO=∠ACO．

又∵∠BOE=∠AOC，∴△BOE∽△AOC，∴．

又∵OB=kAO，由（2）的方法易得BE=BD，∴．

答：的值为k．