Question

【题目】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G,OC到点E，使OG=2OD,OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG、DE．
n
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形OE’F’G’，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG’是直角时，求 的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF’长的最大值和此时 的度数，直接写出结果不必说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1,延长ED交AG于点H,

∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠GAO+∠DEO=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

（2）解：①在旋转过程中,∠OAG′成为直角有两种情况：

(Ⅰ)α由0°增大到90°过程中,当∠OAG′=90°时，

∵OA=OD= OG= OG′，

∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O= = ，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD,OA⊥AG′，

∴OD∥AG′,

∴∠DOG′=∠AG′O=30°，

即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中,当∠OAG′=90°时，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°30°=150°.

综上所述,当∠OAG′=90°时,α=30°或150°.

②如图3,当旋转到A. O、F′在一条直线上时,AF′的长最大，

∵正方形ABCD的边长为1，

∴OA=OD=OC=OB= ，

∵OG=2OD，

∴OG′=OG= ，

∴OF′=2，

∴AF′=AO+OF′= +2，

∵∠COE′=45°，

∴此时α=315°

【解析】（1）延长ED交AG于点H，根据正方形的性质得出得出OA=OD，OG=OE，再证△AOG≌△DOE，得出∠AGO=∠DEO，根据等量代换证明结论。
（2）①根据题意和锐角正弦的概念以及特殊角的三角函数值得到∠AG′O=30°，分两种情况求出α的度数。
②根据正方形的性质分别求出OA和OF的长，根据旋转变换的性质求出AF′长的最大值和此时α的度数。