Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．

（1）求证：∠BME=∠MAB；
（2）求证：BM2=BEAB；
（3）若BE= ，sin∠BAM= ，求线段AM的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接OM，

∵直线CD切⊙O于点M，

∴∠OMD=90°，

∴∠BME+∠OMB=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AMB=90°．

∴∠AMO+∠OMB=90°，

∴∠BME=∠AMO，

∵OA=OM，

∴∠MAB=∠AMO，

∴∠BME=∠MAB

（2）解：由（1）有，∠BME=∠MAB，

∵BE⊥CD，

∴∠BEM=∠AMB=90°，

∴△BME∽△BAM，

∴ ，

∴BM2=BEAB

（3）解：由（1）有，∠BME=∠MAB，

∵sin∠BAM= ，

∴sin∠BME= ，

在Rt△BEM中，BE= ，

∴sin∠BME= = ，

∴BM=6，

在Rt△ABM中，sin∠BAM= ，

∴sin∠BAM= = ，

∴AB= BM=10，

根据勾股定理得，AM=8

【解析】（1）由切线的性质得出∠BME+∠OMB=90°，再由直径得出∠AMB=90°，利用同角的余角相等判断出结论；（2）由（1）得出的结论和直角，判断出△BME∽△BAM，即可得出结论，（3）先在Rt△BEM中，用三角函数求出BM，再在Rt△ABM中，用三角函数和勾股定理计算即可．此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，直径所对的圆周角是直径，相似三角形的性质和判定，三角函数，解本题的关键是判断出，△BME∽△BAM．