Question

【题目】如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点E在对角线AC上，且满足∠ADE=∠BAC．

（1）求证：CDAE=DEBC；

（2）以点A为圆心，AB长为半径画弧交边BC于点F，联结AF．求证：AF2=CECA．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据相似三角形的判定得出△ADE∽△CAB，再利用相似三角形的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定得出△CDE∽△CAD，再利用相似三角形的性质证明即可．

试题解析：

证明（1）∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠ACB，

∵∠ADE=∠BAC，

∴△ADE∽△CAB，

∴，

∴ABAE=DEBC，

∵AB=CD，

∴CDAE=DEBC；

（2）∵AD∥BC，AB=CD，

∴∠ADC=∠DAB，

∵∠ADE=∠BAC，

又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，∠DAB=∠BAC+∠CAD，

∴∠CDE=∠CAD，

∴△CDE∽△CAD，

∴ ，

∴CD2=CECA，

由题意，得AB=AF，AB=CD，

∴AF=CD，

∴AF2=CECA．