Question

【题目】如图，直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AD＝2DC＝4，AB＝6．动点M以每秒1个单位长的速度，从点A沿线段AB向点B运动；同时点P以相同的速度，从点C沿折线C－D－A向点A运动．当点M到达点B时，两点同时停止运动．过点M作直线l∥AD，与线段CD的交点为E，与折线A－C－B的交点为Q．点M运动的时间为t（秒）．

（1）当t＝0.5时，求线段QM的长；

（2）当M在AB上运动时，是否可以使得以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形？若可以，请求t的值；若不可以，请说明理由.

（3）当t＞2时，连接PQ交线段AC于点R．请探究是否为定值，若是，试求这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）QM=1；（2）t=1或或4；（3）为定值, .

【解析】试题分析：（1）过点C作CF⊥AB于F，利用直线平行得出Rt△AQM∽Rt△ACF，再利用对应边的比值相等求出即可；

（2）由于∠DCA为锐角，故有三种情况：

①当∠CPQ＝90°时，点P与点E重合，可得DE＋CP＝CD，从而可求t；②当∠PQC＝90°时，如备用图1，容易证出Rt△PEQ∽Rt△QMA，再利用比例线段，结合EQ＝EM﹣QM ＝4－2t，可求t；③当P在AD上时，∠PCQ＝90°，此时PD＝CD，代入即可求出t的值；

（3）当t＞2时，如备用图2，先证明四边形AMQP为矩形，再利用平行线分线段成比例定理的推论可得△CRQ∽△CAB，再利用比例线段可求．

试题解析：

解：（1）过点C作CF⊥AB于F，则四边形AFCD为矩形．

∴CF＝4，AF＝2，

此时，Rt△AQM∽Rt△ACF，

∴ ，

即，

∴QM＝1；

（2）根据题意可得当0≤t≤2时，以C、P、Q为顶点可以构成三角形为直角三角形，故有三种情况：

①当∠CPQ＝90°时，点P与点E重合，此时DE＋CP＝CD，即t＋t＝2，∴t＝1；

②当∠PQC＝90°时，

如备用图1，此时Rt△PEQ∽Rt△QMA，

∴ ，

由（1）知，EQ＝EM﹣QM＝4﹣2t，

而PE＝PC﹣CE＝PC﹣（DC﹣DE）＝t﹣（2﹣t）＝2t﹣2，

∴ ，

∴t＝ ；

③当P在AD上时，∠PCQ＝90°，此时PD＝CD，所以t－2＝2 ，所以t＝4；

综上所述，t＝1或或4；

（3）为定值,

当t＞2时，如备用图2，PA＝DA﹣DP＝4﹣（t﹣2）＝6﹣t，

由（1）得，BF＝AB﹣AF＝4，∴CF＝BF，∴∠CBF＝45°，∴QM＝MB＝6﹣t，∴QM＝PA，

∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴四边形AMQP为矩形，∴PQ∥AB，∴△CRQ∽△CAB，

∴ .