Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，

∵点E、F分别是边BC、AD的中点，

∴BE=DF，

在△ABE和△CDF中，

∵ ，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：∵∠B=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∵点E是边BC的中点，

∴AE⊥BC，

在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，

sin60°= ，

解得AE=2 ．

【解析】（1）首先根据菱形的性质，得到AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，结合点E、F分别是边BC、AD的中点，即可证明出△ABE≌△CDF；（2）首先证明出△ABC是等边三角形，结合题干条件在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，即可求出AE的长．
【考点精析】认真审题，首先需要了解菱形的性质(菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半)．