Question

【题目】如图，正方形ABCD的边长为4厘米，动点P从点A出发沿AB边由A向B以1厘米/秒的速度匀速移动（点P不与点A、B重合），动点Q从点B出发沿拆线BC－CD以2厘米/秒的速度匀速移动。点P、Q同时出发，当点P停止运动，点Q也随之停止。联结AQ交BD于点E。设点P运动时间为t秒。

（1）用t表示线段PB的长；

（2）当点Q在线段BC上运动时，t为何值时，∠BEP和∠BEQ相等；

（3）当t为何值时，线段P、Q之间的距离为2cm.

Answer 1

【答案】（1）PB=4-t；（2）t=;（3）t=2或；

【解析】

（1）根据正方形的性质和已知条件即可求解；（2）由正方形的性质得出∠PBE=∠QBE，再证明△BEP≌△BEQ，根据全等三角形的性质可得BP=BQ，即可得出方程4-t=2t，解方程即可求得t值；（3）分两种情况讨论：①当时和②当时，根据已知条件，利用勾股定理得出方程，解方程即可求得t的值.

（1）PB=AB-AP，

∵AB=4，AP=1×t=t，

∴PB=4-t.

（2）当t=时，∠BEP和∠BEQ相等，理由如下：

∵四边形ABCD正方形，

∴ 对角线BD平分∠ABC，

∴∠PBE=∠QBE，

当∠BEP=∠BEQ 时，

在△BEP和△BEQ中,

，

∴△BEP≌△BEQ，

∴BP=BQ,

即4-t=2t，

解得t=；

（3）分两种情况讨论：

①当 时，即当P点在AB上，Q点在BC上运动时，

连接PQ，如图1所示：

根据勾股定理得：，

即

解得t=2或t=（负值舍去）；

②当 时，即当P点在AB上,Q点在CD上运动时，

作PM⊥CD于M，如图2所示：

∴PM=BC=4，CM=BP=4-t，MQ=2t-4-(4-t)=3t-8，

根据勾股定理得：，

即

解得t=2（舍去）或t=；

综上，当t=2或t=时，PQ之间的距离为2cm.