Question

【题目】如图，已知∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．(这几何模型具备“一线三直角”）如下图：

(1)①请你证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝3，BD＝5，求DE的长;

（2）迁移：如图：在等腰Rt△ABC中，且∠C=90°，CD=2，BD=3，D、E分别是边BC，AC上的点，将DE绕点D顺时针旋转90°，点E刚好落在边AB上的点F处，则CE=________。（不要求写过程）

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②DE=8；（2）CE=1.

【解析】

（1）如图1，根据垂直的定义和同角的余角相等得到∠E=∠D=90°，∠1=∠2，则结合已知条件AC=BC由AAS证得：△ACE≌△CBD；②如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，则根据全等三角形的对应边相等推知：CE=BD=4，AE=CD=2，故DE=CE﹣CD=4﹣2=2．(2) 过F作FM⊥BC于M，求出BM=MF，求出∠C=∠FMD，∠CED=∠MDF，证△CED≌△MDF，推出DM=CE，CD=FM=2即可．

（1）证明：如图1，∵BD⊥DE，AE⊥DE，

∴∠E=∠D=90°．

又∵∠ACB=90°，

∴∠1=∠2，

∴在△ACE与△CBD中，，

∴△ACE≌△CBD（AAS）；

②解：如图2，同（1），证得△ACE≌△CBD，

∴CE=BD=5，AE=CD=3，

∴DE=CE+CD=5+3=8．

(2)过F作FM⊥BC于M，

则∠FMB=∠FMD=90°，

∵∠C=90，AC=BC，

∴∠B=∠A=45°，

∴∠MFB=∠B=45°，

∴BM=MF，

∵DE⊥DF，

∴∠EDF=∠FMD=∠C=90°，

∴∠CED+∠CDE=90,∠CDE+∠FDM=90°，

∴∠CED=∠FDM，

在△CED和△MDF中，

，

∴△CED≌△MDF(AAS)，

∵CD=2，BD=3，

∴DM=CE，CD=FM=2=BM，

∴CE=DM=32=1，

故答案为：1.