Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，D在边BC上，以A为圆心，AD长为半径画圆弧，交边BC的另一点E，交边AC于F，连接AE，EF．
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若∠ADB=3∠CEF，请判断EF与AB有怎样的位置关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意可知AD=AE=AF，

∴∠ADE=∠AED，

∴∠ADB=∠AEC，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

在△ABD和△ACD中， ，

∴△ABD≌△ACD；

（2）解：∵∠ADB=∠AEC，∠ADB=3∠CEF，

∴∠AEF=2∠CEF，

∵AE=AF，

∴∠AFE=∠AEF=2∠CEF，

∴∠CEF=∠C，

∵△ABD≌△ACD，

∴∠B=∠C，

∴∠CEF=∠B，

∴EF∥AB．

【解析】（1）根据全等三角形的判定定理得到△ABD≌△ACD；（2）根据已知条件得到∠AEF=2CEF，根据等腰三角形的性质得到∠AFE=∠AEF=2∠CEF，等量代换得到∠CEF=∠C，根据全等三角形的性质得到∠B=∠C，于是得到结论；
【考点精析】通过灵活运用直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆有三种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点即可以解答此题．