Question

【题目】对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．

（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；

（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)3.

【解析】

（1）根据新的运算规则知|x|＋|y|＝1，据此可以画出符合题意的图形；

（2）根据新的运算规则知d（M，Q）＝|x2|＋|y1|＝|x2|＋|x＋21|＝|x2|＋|x＋1|，然后由绝对值与数轴的关系可知，|x2|＋|x＋1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和1所对应的点的距离之和，其最小值为3．

（1）由题意，得|x|+|y|=1，

∵d（O，P）=1，O（0，0），P（x，y）

∴d（0，P）=|x|+|y|

∴|x|+|y|=1

①x≥0，y≥0，

∴x+y=1，

y=1﹣x；

②x≤0，y≤0，

∴﹣x﹣y=1，

y=﹣x﹣1；

③x≥0，y≤0，

∴x﹣y=1，

y=x﹣1；

④x≤0，y≥0，

∴﹣x+y=1，

y=1+x.

将四个函数关系式表示在数轴上，所有符合条件的点P组成的图形如图所示：

（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，

又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3．

∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3．