Question

【题目】如图，BE是圆O的直径，A在EB的延长线上，AP为圆O的切线，P为切点，弦PD垂直于BE于点C．
（1）求证：∠AOD=∠APC；
（2）若OC：CB=1：2，AB=6，求圆O的半径及tan∠APB．

Answer 1

【答案】解：（1）证明：连接OP．
∵OP=OD，∴∠OPD=∠D；
∵PD⊥BE，
∴∠OCD=90°；
在Rt△OCD中，∠D+∠AOD=90°，
又∵AP是⊙O的切线，
∴AP⊥OP，
则∠OPD+∠APC=90°，
∴∠AOD=∠APC；
（2）连接PE．
∴∠BPE=90°（直径所对的圆周角是直角）；
∵AP是⊙O的切线，
∴∠APB=∠OPE=∠PEA；
∵OC：CB=1：2，
∴设OC=x，则BC=2x，OP=OB=3x；
在Rt△OPC中，OP=3x，OC=x，由勾股定理得：
PC2=OP2﹣OC2=8x2；
在Rt△OPC中，PC⊥OA，由射影定理得：
PC2=OCAC，即8x2=x（2x+6），6x2=6x，
解得x=0（舍去），x=1；
∴OP=OB=3，PC=2，CE=OC+OE=3+1=4，
∴tan∠APB=tan∠PEC==，
∴⊙O的半径为3，∠APB的正切值是．

【解析】（1）连接OP．可结合已知的等角和等腰三角形、直角三角形的性质进行证明；
（2）根据OC、BC的比例关系，可用未知数表示出OC、BC的表达式，进而可得OP、OB的表达式；在Rt△AOP中，PC⊥OA，根据射影定理得：PC2=PCAC，PC2的表达式可在Rt△OPC中由勾股定理求得，由此求得未知数的知，从而确定PC、CE的长，也就能求出⊙O的半径和∠APB的正切值．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．