Question

【题目】如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称的△BC′D．

（1）当∠CBD=15°时，求点C′的坐标．
（2）当图1中的直线l经过点A，且k=﹣ 时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．
（3）当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵△CBD≌△C′BD，

∴∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，

∴∠CBC′=30°，

如图1，作C′H⊥BC于H，则C′H=1，HB= ，

∴CH=2﹣ ，

∴点C′的坐标为：（2﹣ ，1）

（2）

解：如图2，∵A（2，0），k=﹣ ，

∴代入直线AF的解析式为：y=﹣ x+b，

∴b= ，

则直线AF的解析式为：y=﹣ x+ ，

∴∠OAF=30°，∠BAF=60°，

∵在点D由C到O的运动过程中，BC′扫过的图形是扇形，

∴当D与O重合时，点C′与A重合，

且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，

当C′在直线y=﹣ x+ 上时，BC′=BC=AB，

∴△ABC′是等边三角形，这时∠ABC′=60°，

∴重叠部分的面积是： ﹣ ×22= π﹣

（3）

解：如图3，设OO′与DE交于点M，则O′M=OM，OO′⊥DE，

若△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，

在点D由C到O的运动过程中，△COO′中显然只能∠CO′O=90°，

∴CO′∥DE，

∴CD=OD=1，

∴b=1，

连接BE，由轴对称性可知C′D=CD，BC′=BC=BA，

∠BC′E=∠BCD=∠BAE=90°，

在Rt△BAE和Rt△BC′E中

∵ ，

∴Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），

∴AE=C′E，

∴DE=DC′+C′E=DC+AE，

设OE=x，则AE=2﹣x，

∴DE=DC+AE=3﹣x，

由勾股定理得：x2+1=（3﹣x）2，

解得：x=，

∵D（0，1），E（ ，0），

∴ k+1=0，

解得：k=﹣ ，

∴存在点D，使△DO′E与△COO′相似，这时k=﹣ ，b=1．

【解析】（1）利用翻折变换的性质得出∠CBD=∠C′BD=15°，C′B=CB=2，进而得出CH的长，进而得出答案；（2）首先求出直线AF的解析式，进而得出当D与O重合时，点C′与A重合，且BC′扫过的图形与△OAF重合部分是弓形，求出即可；（3）根据题意得出△DO′E与△COO′相似，则△COO′必是Rt△，进而得出Rt△BAE≌Rt△BC′E（HL），再利用勾股定理求出EO的长进而得出答案．
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和勾股定理的概念，掌握确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．