Question

【题目】尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC=a，AC=b，AB=c．
求证：a2+b2=5c2
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故 ，设PF=m，PE=n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证

（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．
（2）利用题中的结论，解答下列问题：在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，

∵AF，BE是△ABC的中线，

∴EF为△ABC的中位线，AE= b，BF= a，

∴EF∥AB，EF= c，

∴△EFP∽△BPA，

∴ ，即 = ，

∴PB=2n，PA=2m，

在Rt△AEP中，∵PE2+PA2=AE2，

∴n2+4m2= b2①，

在Rt△AEP中，∵PF2+PB2=BF2，

∴m2+4n2= a2②，

①+②得5（n2+m2）= （a2+b2），

在Rt△EFP中，∵PE2+PF2=EF2，

∴n2+m2=EF2= c2，

∴5 c2= （a2+b2），

∴a2+b2=5c2；

（2）

解：∵四边形ABCD为菱形，

∴BD⊥AC，

∵E，F分别为线段AO，DO的中点，

由（1）的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，

∵AG∥BC，

∴△AEG∽△CEB，

∴ = ，

∴AG=1，

同理可得DH=1，

∴GH=1，

∴GH∥BC，

∴ = ，

∴MB=3GM，MC=3MH，

∴9MG2+9MH2=45，

∴MG2+MH2=5．

【解析】（1）设PF=m，PE=n，连结EF，如图1，根据三角形中位线性质得EF∥AB，EF= c，则可判断△EFP∽△BPA，利用相似比得到PB=2n，PA=2m，接着根据勾股定理得到n2+4m2= b2 ， m2+4n2= a2 ， 则5（n2+m2）= （a2+b2），而n2+m2=EF2= c2 ， 所以a2+b2=5c2；（2）利用（1）的结论得MB2+MC2=5BC2=5×32=45，再利用△AEG∽△CEB可计算出AG=1，同理可得DH=1，则GH=1，然后利用GH∥BC，根据平行线分线段长比例定理得到MB=3GM，MC=3MH，然后等量代换后可得MG2+MH2=5．本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了三角形中位线性质和菱形的性质．