Question

【题目】解答题

（1）如图1，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图2，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图3，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，作C关于直线AB的对称点C′，

连接C′D交AB于点P．

则点P就是所要求作的点．

理由：在l上取不同于P的点P′，连接CP′、DP′．

∵C和C′关于直线l对称，

∴PC=PC′，P′C=P′C′，

而C′P+DP＜C′P′+DP′，

∴PC+DP＜CP′+DP′

∴CD+CP+DP＜CD+CP′+DP′

即△CDP周长小于△CDP′周长

（2）

解：如图2，作P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，

则点E，F就是所要求作的点．

理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，

∵C和P关于直线OA对称，

∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，

∵PE+EF+PF=CE+EF+DF，PE′+PF′+E′F′=CE′+E′F′+DE′，

∴CE+EF+DF＜CE′+E′F′+DF′，′

∴PE+EF+PF＜PE′+PF′+E′F′

（3）

解：如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，

则点E，F就是所要求作的点．

理由：在OA，OB上取不同于E，F的点E′，F′，连接CE′、E′P′，

∵C和P关于直线OA对称，

∴PE=CE，CE′=PE′，PF=DF，PF′=DF′，

由（2）得知MN+ME+EF+MF＜ME′+E′F′+F′D．

【解析】（1）由于△PCD的周长=PC+CD+PD，而CD是定值，故只需在直线l上找一点P，使PC+PD最小．如果设C关于l的对称点为C′，使PC+PD最小就是使PC′+PD最小；（2）作P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD角OA、OB于E、F．此时△PEF周长有最小值；（3）如图3，作M关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F，此时使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短．
【考点精析】认真审题，首先需要了解轴对称的性质(关于某条直线对称的两个图形是全等形；如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上)，还要掌握轴对称-最短路线问题(已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径)的相关知识才是答题的关键．