Question

【题目】如图， 是等边三角形内的一点，连结、、，以为边作且．连结．

（1）观察并猜想与之间的大小关系，并证明你的结论．

（2）若， ， ，连结，试判断的形状，并说明理由．

（3）在（2）的条件下，求的面积．

Answer 1

【答案】（），证明见解析；（）为直角三角形，理由见解析；（）．

【解析】试题分析：（1）通过证明△ABP≌△CBQ得出；（2）根据△BPQ是等边三角形求出PQ的长，再根据勾股定理逆定理可得△PQC是直角三角形；（3）过点B作BD垂直于CQ的延长线于点D，在△BDQ中求出DQ、BD的长，再求出CD，根据勾股定理求出BC的长，即可求出三角形ABC面积.

解：（1）AP=CQ，

理由：∵∠PBQ=60°，∠ABC=60°，

∴∠ABP+∠PBC=60°=∠CBQ+∠PBC，

∴∠ABP=∠CBQ，

在△ABP与△CBQ中，AB=CB,∠ABP=∠CBQ，BP=BQ，

∴△ABP≌△CBQ，

∴AP=CQ．

（2）∵BP=BQ，∠PBQ=60°，

∴△BPQ为等边三角形，

∴PQ=PB=4，

∵△ABP≌△CBQ，∴AP=CQ=3，

∵PQ2+CQ2=42+32=25=PC2，

∴△PQC为直角三角形．

（3）∵∠PQC=90°，∠PQB=60°，

∴∠BQC=150°，

过点B作BD垂直于CQ的延长线于点D，

∴∠BQD=30°，

∵BQ=4，∴BD=2，DQ=2，

∴CD=CQ+DQ=3+，

在Rt△BCD中，BC=，

∵△ABC为等边三角形，

∴S△ABC=．