Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点A和点C，连接BC.将直线l沿着x轴正方形平移m个单位得到直线， 交轴于点D，交BC于点E，交抛物线于点F.

（1）求点，点和点的坐标

（2）如图2，将沿直线翻折得到，求点的坐标（用含的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，当点落在直线上时，请直接写出点的坐标

Answer 1

【答案】（1）A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0），点C的坐标为（0，6）；

（2）点B′的坐标为（m﹣10，﹣m+6）；

（3）F的坐标为（﹣1，3﹣12）

【解析】试题分析：（1）通过解方程，可得A点和B点坐标，再计算自变量为0时的函数值可得到C点坐标；（2）根据勾股定理求得BC=10，即可证得AB=BC，根据AC∥FD，得出，求得BE=BD，即可证得四边形EB′DB是菱形，得出B′D∥BC，然后过点B′作B′H⊥AB与H，证得△B′HD∽△COB，即可求得 进一步求得OH，得出B′的坐标；（3）根据菱形的性质得出BM=B′M，由平移的定义可知DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理证得BD=AD=AB=5，求得D的坐标，根据勾股定理求得AC的解析式，进而求得DF的解析式，然后联立方程，即可求得F的坐标．

试题解析：

（1）将y=0代入y=﹣x2+x+6得，﹣x2+x+6=0，

解得x1=﹣2，x2=8，

∴点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（8，0）；

将x=0代入y=﹣x2+x+6得y=6，

∴点C的坐标为（0，6）；

（2）在RT△COB中，由勾股定理得BC=，

∵AB=AO+OB=2+8=10，

∴AB=BC，

∵AD=m，

∴DB=AB﹣AD=10﹣m，

∵AC∥FD，

∴,

∴BE=BD=B′E=B′D=10﹣m，

∴四边形EB′DB是菱形，

∴B′D∥BC，

过点B′作B′H⊥AB与H，

∴∠B′DH=∠CBO，∠B′HD=∠COB=90°，

∴△B′HD∽△COB，

∴,即，

∴B′H=﹣m+6，HD=﹣m+8，

当点B′在y轴的右侧时，OH=OB﹣HD﹣DB=8﹣（﹣m+8）﹣（10﹣m）=m﹣10，

当点B′在y轴的左侧时，OH=HD+DB﹣OB=（﹣m+8）+（10﹣m）﹣8=10﹣m，

∴点B′的坐标为（m﹣10，﹣m+6）；

（3）∵四边形EB′DB是菱形，

∴BM=B′M，

由平移的定义可知DE∥AC，

∴，

∴BD=AD=AB=5，

∵OA=2，

∴OD=3，

∴D的坐标为（3，0），

设直线AC的解析式为y=kx+b，

代入A（﹣2，0），C（0，6）得： ，解得，

∵DF∥AC，

设直线DF的解析式为y=3x+b，

代入D（3，0）得9+b=0，

解得b=﹣9，

∴直线DF为y=3x﹣9，

解，得或，

∴F的坐标为（﹣1，3﹣12）．