Question

【题目】如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为线段AD（不包括端点A、D）上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE，连结BE．
（1）点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗？说说你的理由；
（2）若延长BE至F，使得CF=CE=5，如图2，问： ①求出此时AP的长；
②当点P在线段AD的延长线上时，判断EF的长是否为定值，若是请直接写出EF的长；若不是请简单说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：BE=AP．

理由：∵△ABC和△CPE均为等边三角形，

∴∠ACB=∠PCE=60°，AC=BC，CP=CE．

∵∠ACP+∠DCP=∠DCE+∠PCD=60°，

∴∠ACP=∠BCE．

∵在△ACP和△BCE中， ，

∴△ACP≌△BCE．

∴BE=AP

（2）解：①如图2所示：过点C作CH⊥BE，垂足为H．

∵AB=AC，AD是BC的中点，

∴∠CAD=∠BAD= ∠BAC=30°．

∵由（1）可知：△ACP≌△BCE，

∴∠CBE=∠CAD=30°，AP=BE．

∵在Rt△BCH中，∠HBC=30°，

∴HC= BC=3，NH= BC=3 ．

∵在Rt△CEH中，EC=5，CH=3，

∴EH= =4．

∴BE=HB﹣EH=3 ﹣4．

∴AP=3 ﹣4．

②如图3所示：过点C作CH⊥BE，垂足为H．

∵△ABC和△CEP均为等边三角形，

∴AC=BC，CE=PC，∠ACB=∠ECP．

∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+BCP，即∠BCE=∠ACP．

∵在△ACP和△BCE中， ，

∴△ACP≌△BCE．

∴∠CBH=∠CAP=30°．

∵在Rt△BCH中，∠CBH=30°，

∴HC= BC=3．

∵FC=CE，CH⊥FE，

∴FH=EH．

∴FH=EH= =4．

∴EF=FH+EH=4+4=8

【解析】（1）先证明∠ACP=∠BCE，然后依据SAS证明△ACP≌△BCE，由全等三角形的性质可得到BE=AP；（2）过点C作CH⊥BE，垂足为H，先依据等腰三角形三线合一的性质求得∠CAD=30°，然后由△ACP≌△BCE可求得∠CBH=30°，依据含30°直角三角形的性质可求得CH的长，从而可求得BH的长，然后在△ECH中依据勾股定理可求得EH的长，故此可求得BE的长，最后根据AP=BE求解即可；（3）首先根据题意画出图形，过点C作CH⊥BE，垂足为H．先证△ACP≌△BCE，从而得到∠CBH=30°，由含30°直角三角形的性质可求得CH的长，依据勾股定理可求得FH的长，然后由等腰三角形三线合一的性质可得到HE=FH，故此可求得EF的长．
【考点精析】掌握等边三角形的性质是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．