Question

【题目】已知：如图，边长为2的正五边形ABCDE内接于⊙O，AB、DC的延长线交于点F，过点E作EG∥CB交BA的延长线于点G．

（1）求证： ；
（2）证明：EG与⊙O相切，并求AG、BF的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】试题分析：欲证AB2=AGBF，可证△EAG∽△FBC及正五边形ABCDE的特点得出；求AG、BF的长，需连接EF，易证明EF⊥BC，得出EF⊥EG，依据EG与⊙O相切，用切线的性质得出．

试题解析：证明：（1）易证五边形ABCDE的外角∠FCB=∠EAG=∠FBC，

∵EG∥CB，

∴∠EAG=∠FBC．

∴△EAG∽△FBC．

∴，即BCAE=AGBF．

又∵BC=AE=AB，

∴ ．①

（2）连接EF，由（1）可知FB=FC，即△FBC为等腰三角形，易知BA=CD，

∴FA=FD，

∴EF⊥BC且EF平分BC，

∴EF过圆心O．

又∵EG∥CB，∴EF⊥EG，

∴EG与⊙O相切．

∴ ．

由（1）可知∠G=∠EAG，∴EG=EA=2，

设AG=x，则 ，解得

∴AG=，代入①中可得：BF=.