Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣ x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．

（1）填空：b= ， c=；
（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；
（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；
（4）如图②，点N的坐标为（﹣ ，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）,4
（2）解：在点P、Q运动过程中，△APQ不可能是直角三角形．

理由如下：连结QC．

∵在点P、Q运动过程中，∠PAQ、∠PQA始终为锐角，

∴当△APQ是直角三角形时，则∠APQ=90°．

将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，

∴C（0，4）．

∵AP=OQ=t，

∴PC=5﹣t，

∵在Rt△AOC中，依据勾股定理得：AC=5，在Rt△COQ中，依据勾股定理可知：CQ2=t2+16，在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：PQ2=CQ2﹣CP2，在Rt△APQ中，AQ2﹣AP2=PQ2，

∴CQ2﹣CP2=AQ2﹣AP2，即（3+t）2﹣t2=t2+16﹣（5﹣t）2，解得：t=4.5．

∵由题意可知：0≤t≤4，

∴t=4.5不符合题意，即△APQ不可能是直角三角形．

（3）解：如图所示：

过点P作DE∥x轴，分别过点M、Q作MD⊥DE、QE⊥DE，垂足分别为D、E，MD交x轴与点F，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G，则PG∥y轴，∠E=∠D=90°．

∵PG∥y轴，

∴△PAG∽△ACO，

∴ = = ，即 = = ，

∴PG= t，AG= t，

∴PE=GQ=GO+OQ=AO﹣AG+OQ=3﹣ t+t=3+ t，DF=GP= t．

∵∠MPQ=90°，∠D=90°，

∴∠DMP+∠DPM=∠EPQ+∠DPM=90°，

∴∠DMP=∠EPQ．

又∵∠D=∠E，PM=PQ，

∴△MDP≌PEQ，

∴PD=EQ= t，MD=PE=3+ t，

∴FM=MD﹣DF=3+ t﹣ t=3﹣ t，OF=FG+GO=PD+OA﹣AG=3+ t﹣ t=3+ t，

∴M（﹣3﹣ t，﹣3+ t）．

∵点M在x轴下方的抛物线上，

∴﹣3+ t=﹣ ×（﹣3﹣ t）2+ ×（﹣3﹣ t）+4，解得：t= ．

∵0≤t≤4，

∴t= ．

（4）解：如图所示：连结OP，取OP的中点R，连结RH，NR，延长NR交线段BC与点Q′．

∵点H为PQ的中点，点R为OP的中点，

∴EH= QO= t，RH∥OQ．

∵A（﹣3，0），N（﹣ ，0），

∴点N为OA的中点．

又∵R为OP的中点，

∴NR= AP= t，

∴RH=NR，

∴∠RNH=∠RHN．

∵RH∥OQ，

∴∠RHN=∠HNO，

∴∠RNH=∠HNO，即NH是∠QNQ′的平分线．

设直线AC的解析式为y=mx+n，把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得： ，

解得：m= ，n=4，

∴直线AC的表示为y= x+4．

同理可得直线BC的表达式为y=﹣x+4．

设直线NR的函数表达式为y= x+s，将点N的坐标代入得： ×（﹣ ）+s=0，解得：s=2，

∴直线NR的表述表达式为y= x+2．

将直线NR和直线BC的表达式联立得： ，解得：x= ，y= ，

∴Q′（ ， ）．

【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x+3）（x﹣4）．将a=﹣ 代入得：y=﹣ x2+ x+4，∴b= ，c=4；（2）直角三角形存在性问题可采取假设的方法，然后根据三个内角哪一个可能为直角进行分类讨论；（3）由等腰直角三角形的性质可推得全等，用t 的代数式表示出M的坐标，根据在抛物线上代入解析式，建立方程求处t ,再验证它是否在取值范围内；（4） Q′可采用交轨法，即是直线NR和直线BC的交点，联立两个解析式组成方程组，解出方程组的解就是交点坐标.