Question

【题目】如图，已知线段AC为⊙O的直径，PA为⊙O的切线，切点为A，B为⊙O上一点，且BC∥PO．

（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为1，PA=3，求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OB，

∵∠BCA= ，

又∵BC∥OP，

∴∠POA=∠BCA，

∴∠POA=∠BOP，

在△AOP与△BOP中， ，

∴△AOP≌△BOP，

∴∠PBO=∠PAO，

又∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAO=90°，

∴∠OBP=90°，

又OB为⊙O的半径，

∴PB为⊙O的切线；

（2）解：过O作OH⊥BC于H，则CH= BC，

在Rt△AOP中，OP2=PA2+OA2=32+12=10，

又∵OP＞0，

∴OP= ，

∵∠POA=∠BCA，

∴cos∠BCA=cos∠POA= ，

在Rt△OHC中，OC=1，cos∠BCA= 即 ，

∴CH= ，

∴BC=2CH= ．

【解析】（1）要证PB为⊙O的切线，需要证明PB垂直于过B点的半径，为此连接OB，先证△AOP≌△BOP可得∠PBO=∠PAO，由题意可得∠PAO=90°，即可得证；
（2）连接AB，在Rt△AOP中由勾股定理可求得OP，易求得cos∠POA，又∠POA=∠BCA，可得cos∠BCA，在Rt△OHC中利用三角函数可求出CH，由BC=2CH可得.