Question

【题目】如图，△ 内接于⊙O，过点B作⊙O的切线DE，F为射线BD上一点，连接CF

（1）求证： ；
（2）若⊙O 的直径为5， ， ，求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：

如图：连接BO并延长交⊙O于点M，连接MC．

∴∠A=∠M，∠MCB=90°．

∴∠M+∠MBC=90°．

∵DE是⊙O的切线，

∴∠CBE+∠MBC=90°．

∴ ．

∴ ．

（2）解：过点 作 于点 ．

∴ ．

由（1）得， ．

∴ ．

在Rt△ 中,

∵ ，

∴ ．

在Rt△ 中，

∵ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

在Rt△ 中，

∵ ，

∴ ．

【解析】（1）根据圆周角定理和直径的性质，得到∠M+∠MBC=90°，再由DE是⊙O的切线，根据切线的性质，得到∠CBE=∠A；（2）由（1）得，∠M=∠CBE=∠A ，由tanA=2，根据三角函数得到tanM=tan∠CBE= tanA，根据勾股定理求出BC的值，求出CF的值.
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理和同角三角函数的关系（倒数、平方和商）的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径；各锐角三角函数之间的关系：平方关系（sin2A+cos2A=1）；倒数关系（tanAtan(90°—A)=1）；弦切关系（tanA=sinA/cosA ）才能正确解答此题．