Question

【题目】如图1，点为线段上一点，一副直角三角板的直角顶点与点重合，直角边、在线段上，．

（1）将图1中的三角板绕着点沿顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则________；猜想与的数量关系为________；

（2）将图1中的三角板绕着点沿逆时针方向按每秒的速度旋转一周，三角板不动，请问几秒时所在的直线平分？

（3）将图1中的三角板绕着点沿逆时针方向按每秒的速度旋转一周，同时三角板绕着点沿顺时针方向按每秒的速度旋转（随三角板停止而停止），请计算几秒时与的角分线共线．

Answer 1

【答案】（1）145°，180°；（2）3秒或15秒后OD所在的直线平分∠AOB；（3）秒或或秒后与的角分线共线．

【解析】

（1）根据互余关系先求出∠AOD，再由角的和差求出结果；

（2）当沿逆时针方向旋转45°或225°时，OD所在的直线平分∠AOB，由此便可求得结果；

（3）①当∠COD和∠AOB角平分线夹角为180时，②当∠COD和∠AOB角平分线重合时，即夹角为0°，③当∠COD和∠AOB角平分线重合后再次夹角为180°时，列出关于t的方程进行解答．

解：（1）∵∠COD=90°，∠AOC=35°，

∴∠AOD=∠COD-∠AOC=55°，

∵∠AOB=90°，

∴∠BOD=∠AOB+AOD=145°,

∵∠BOD=∠AOD+∠AOC+BOC，

∴∠AOC+∠BOD=∠AOC+∠AOD+∠AOC+∠BOC=∠COD+∠AOB=90°+90°=180°，

∴∠AOC+∠BOD=∠=180°,

故答案为：145°，180°；

（2）根据题意可得，

当旋转45°或225°时，OD所在的直线平分∠AOB，

所以，旋转时间为：45°÷15°=3（秒），225°÷15°=15（秒），

则3秒或15秒后OD所在的直线平分∠AOB；

（3）起始位置∠COD和∠AOB角平分线夹角为90°，

①当∠COD和∠AOB角平分线夹角为180时，

，

解得（秒）；

②当∠COD和∠AOB角平分线重合时，即夹角为0°，

，

解得：（秒）；

③当∠COD和∠AOB角平分线重合后再次夹角为180°时，

，

解得：（秒）；

综上，秒或或秒后与的角分线共线．