Question

【题目】已知△ABC为边长为6的等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD=CE=x，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF．

（1）求证：△AEF为等边三角形；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）记△CEF的面积为S，
①求S与x的函数关系式；
②当S有最大值时，判断CF与BC的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，

∵CD=CE，

∴△CDE为等边三角形，

∴∠CED=60°，

∠AEF=60°，又AE=EF，

∴△AEF为等边三角形

（2）证明：∵∠FAC=60°，

∴∠FAC=∠ACB=60°，

∴AF∥BC，

∵∠CED=∠CAB=60°，

∴AB∥BF，（）

∴四边形ABDF为平行四边形

（3）证明：①作AH⊥BC于H，

∵△ABC为边长为6的等边三角形，

∴AH=3 ，

∴S△CDF= ×CD×AH= x，

∵△CDE为等边三角形，CD=x，

∴S△CDE= x2，

∴△CEF的面积S= x﹣ x2；

②CF⊥BC．

x=﹣ =3时，S最大，

∴CD=CE=3，

∵△CDE为等边三角形，

∴DE=CD=CE=3，

∵E为AC的中点，

∴AE=CE=3

∴AE=EF=3

∴CE=DE=EF=3，

∴∠CDE=∠ECD，

∠ECF=∠EFC，

∵∠CDE+∠ECD+∠CCF+∠EFC=180°，

∴2∠ECD+2∠ECF=180°，

∴∠ECD+∠ECF=90°，即∠DCF=90°，

∴CF⊥BC．

【解析】（1）根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，由CD=CE及EF=AE，根据对顶角相等和等边三角形的判定定理证明即可；
（2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，已征得结论；
（3）观察图形S=S△CDF-S△CDE，根据等边三角形的性质可以分别求出△CDF，△CDE的面积，就可以计算出求S与x的函数关系式；根据二次函数的性质求出S的最大值时x的值，根据垂直的定义判断即可。

【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)，还要掌握平行四边形的判定(两组对边分别平行的四边形是平行四边形：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形)的相关知识才是答题的关键．